Concentratore cilindrico parabolico

 

Come il fotovoltaico termodinamico può essere una colonna portante delle FER alternative alle centrali nucleari ad uranio arricchito per la produzione di energia, premessa matematica

 

Alcune volte si ricordano i tempi del liceo con la geometria analitica che sembravano noiosi nell'apprendere le coniche, tra queste ci sarà capitato di studiare la definizione di parabola: «La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice», e forse sarà tornata alla memoria di chi avesse preso un corso universitario scientifico-tecnologico. Inoltre in questi corsi i cilindri parabolici sono trattati con le quadriche essendo un caso di geometria analitica nello spezio tridimensionale. Le formule matematiche presenti nella pagina sono state realizzate con latex
Conviene affrontare l'argomento suddividendolo in più parti: nella prima, questa, sono richiami matematici necessari al progetto, nella parte successiva verranno trattati un caso particolare (si otterrà un cilindro parabolico abbastanza compatto) ed una parabola generica utile per fare delle valutazioni progettuali. Potremo quindi ottenere una valutazione dell'energia estraibile con il cilindro parabolico. Inoltre a mano a mano che si mettono in luce gli aspetti nel caso particolare faremo del tunning in corsa per meglio studiare il caso generico.

La trattazione matematica in questa pagina è orientata a richiamare formule generiche, in maniera tale che basti sostituire i valori per ottenere senza troppi sforzi il risultato. Ma verranno proposti i ragionamenti per comprendere i calcoli e capire gli aspetti da tenere in considerazione sul cilindro parabolico che andremo a costruire.
Quello che veniva visto come un ragionamento freddo possa essere utile per sfruttare l'irraggiamento solare per produrre energia e quindi sia uno stimolo in più allo studio ed alla realizzazione di un sistema pulito e rispettoso per l'ambiente. Sebbene il sistema offra diversi vantaggi scopriremo che purtroppo non è in grado di fornire energia elettrica nel corso dell'intera giornata, presenta dei costi realizzativi non trascurabili, ma supera diverse limitazioni dei classici pannelli fotovoltaici, e come questi ultimi produce energia da una fonte solare sicura per le persone e per l'ambiente, oltre ad avere durata illimitata. Anche i cilindri parabolici richiedono della manutenzione per ridurre le prestazioni del sistema.
E' necessario inoltre orientare il cilindro parabolico verso il Sole in modo che l'asse sia parallelo ai raggi solari. Un inseguitore ottico è in grado si svolgere questo compito. Ricordiamo subito a chi volesse costruire un cilindro parabolico a concentrazione solare di metterlo in un punto che sia accessibile solo agli addetti ai lavori, ricordarsi di indossare sempre occhiali da sole di qualità e di prendere in considerazione tutte quelle misure necessarie per prevenire incidenti. L'autore non risponderà ad inadempienze o sottovalutazioni di eventuali fonti di rischio.

Nozioni matematiche preliminari

La sezione richiama i concetti matematici salienti per la progettazione del concentratore cilindrico parabolico. Semplifichiamo inialmente il cilindro parabolico vedendolo semplicemente da un piano frontale notando il profilo di un arco di parabola. Questa conica ci permetterà di semplificare notevolmente i calcoli.

La parabola

L'equazione generica della parabola è:
equazione generica della parabola
La precedente equazione si può riscrivere in maniera equivalente esplicitando l'asse della parabola.
Equazione parabola esplicitandone l'asse
Ma questo caso non verrà trattato essendo uguale al generico semplicemente sviluppando il binomio.
Quello che a noi interessa particolarmente della parabola è trovare il suo fuoco, determinare la lunghezza dell'arco di parabola delimitato da un segmento parallelo alla direttrice e passante per il vertice.
Disegnamo una parabola che abbia il suo asse coincidente con quello delle ordinate nella seguente figura 1.
figura parabola

Il fuoco della parabola

Il fuoco generico è localizzato nel punto
il punto del fuoco di una parabola generica
Arricchiamo il precedente disegno di figura 1 aggiungendo il fuoco in corrispondenza del cerchietto verde nella seguente figura 2
Disegno parabola con fuoco
Il motivo per cui è importante determinare il fuoco della parabola, è dovuto al fatto che questo punto converge qualsiasi traiettoria parallela all'asse e si rifletta al suo interno verso il fuoco. La situazione è evidenziata nella seguente figura 3.
Disegno delle riflessioni delle traiettorie parallele all'asse della parabola al vertice
Nel caso di una parabola che giace su un piano il fuoco è posizionato su un punto, allora se facessimo sovrapporre più piani in maniera che le parabole coincidessero sviluppandosi in uno spazio tridimensionale venendosi a creare un paraboloide. Lungo questo anche i fuochi si estenderanno in un segmento. Sarà proprio lungo tale segmento che si otterrà la massima energia contenuta nell'irraggiamento estraibile sotto forma di calore. Per trasportare il calore si ricorre ad un opportuno fluido termovettore ad alta temperatura, generalmente almeno cento gradi centigradi (la prima generazione impiegava come fluido termovettore un tipo di olio diatermico per temperature dell'ordine di 200°C) fino ad un massimo di 600°C, raggiungibile con un'opportuna soluzione di sali fusi che contraddistinguono le centrali di seconda generazione.
In una prima fase possiamo anche accontentarci di un sistema in grado di portare la temperatura dell'acqua sui 100°C.
E' facilmente intuibile che a parità di lunghezza dell'arco di parabola ed a portata del fluido termovettore nell'unità di tempo, tanto più è lungo il segmento del tubo collettore tanto più calore il fluido termovettore sarà in grado di immagazzinare ottenendo una temperatura superiore. In altre parole l'irraggiamento è tanto maggiore quanto più è vasta la superficie del paraboloide.

Lunghezza di un arco di parabola

Sarà importante determinare la lunghezza dell'arco di parabola per poi calcolare la superficie complessiva del paraboloide, quindi il suo rendimento di conversione. Per determinare questa lunghezza lineare torniamo al caso della parabola piana.
La misura di una qualunque funzione delimitata dall'estremo inf e sup è data dalla formula:
lunghezza funzione generica
Una volta determinata la funzione primitiva F(x) dell'integranda, la misura della lunghezza della curva è dato come differenza sostituendo l'estremo superiore in quella funzione, con il valore ottenuto inserendo l'estremo inferiore. In sostanza basterà fare:
misura lunghezza generica
Da osservare che se una funzione è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate il calcolo si può facilmente ridurre al solo semipiano positivo delle ascisse partendo dall'intersezione con l'asse delle ordinate fino al punto estremo (quindi verrebbe preso in considerazione solo la parte destra della funzione), poi raddoppiare il risultato. Nel caso della parabola generica, il cui asse potrebbe essere traslato rispetto a quello delle ordinate, il calcolo si ridurrà dal vertice fino all'estremo positivo, quindi raddoppiando il valore ottenuto. In questa sede non verrà spiegato il calcolo differenziale ma verrà subito data la soluzione della derivata.

La derivata prima della parabola generica è:
derivata prima parabola generica
Quindi per determinare la lunghezza dovemo calcolare l'integrale:
definizione lunghezza parabola generica
Infine nel caso particolare basterà sostituire ad a il valore uno mentre a b zero.

Sebbene il precedente sia un modo valido, preferiremo invece semplificare il calcolo facendo traslare l'asse della parabola facendolo coincidere con quello delle ordinate del sistema di assi cartesiani riprendendo l'equazione che ne esplicita il proprio asse già precedentemente mostrata.
Ai fini del calcolo la lunghezza dell'arco della parabola non cambia.

Integrale notevole

Nella sezione precedente abbiamo visto il tipo di integrale che dovremo risolvere.
Per i nostri scopi è necessario conoscere un solo integrale notevole per determinare la lunghezza della curva. Chi volesse approfondire lo svolgimento dell'integrale notevole raccomandiamo la consultazione di un libro o siti internet di "Analisi Matematica" che tratti il calcolo integrale [N.d.A. Nel breve periodo non sono intenzionato ad aprire una sezione dedicata allo svolgimento degli integrali].
Integrale notevole generico
essendo k la costante di integrazione. Dal precedente integrale notevole e ricordando il metodo di sostituzione della variabile di integrazione si determineranno quelli di cui si ha bisogno.

 

L'ultima modifica alla pagina è del 14-05-2011

 
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